素数の謎,　リーマン予想の解法

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上の写真は偽物です。素数のゼロ点と原子核のエネルギーの間隔を表す数式が入れ替わっています。学生がよくこんないたずらをします。

リーマン予想
ドイツ人数学者のベルンハルト・リーマンが1859年にある論文を発表した。この「予想」は、1900年の国際数学者会議では、当時の数学界のリーダー、ドイツのヒルベルトが世界中の数学者に解決を求めた。

米国のクレイ数学研究所は2000年、この問題に100万ドルの懸賞金をかけている。

これが100年でこの問題が「世紀の問題」に

なったことがおわかりいただけたはず。

人類には、

まだ、

わからないことが山積み

この問題が「なぜ解けないのかを探求」した学者たちもいる。

　分子や原子よりもさらに小さな素粒子の振る舞いや、宇宙など、未知の領域と深い関りがあり、その間隔の謎が、宇宙と素粒子の世界を統一(セオリーオブエブリシング)するカギを握っているかもしれない。

リーマン予想とは、「素数」の不思議な振る舞いを追究しようというものだ。
それでは、素数とは何か。2、3、5、7、11、……のように、自分自身と1以外では割り切れない数のこと。
あらゆる自然数（1、2、3、……という正の整数）は、素数の組み合わせで作ることができる。素数は「数の原子」とも呼ばれる。

素数の概念が登場するのは、紀元前。ユークリッドの『原論』に、素数が無限個あることの証明が載っている。

神秘的な素数だが、その振る舞いは実に気まぐれに見える。

2から始まる素数の規則性は見えてこない。11までは素数出現の間隔が徐々にあくが、11の次は13と縮まる。数字が大きくなっても、この「きまぐれ」は変わらない。
だが、数学者たちは、きっと何かパターンが潜んでいると考えた。最初の扉を開いたのが、スイス人数学者、レオンハルト・オイラー（1707～1783）だ。素数にとりつかれ、10万を超える素数表を作ったことで知られる。
14世紀には、自然数の逆数の和、つまり1、2、3、……で1を割った数を無限に足していくと、ある数に近づくのではなく、無限に大きくなっていくということがわかっていた。
では、自然数の2乗の逆数の和を無限に足し合わせたら？　オイラーは、今度は無限大にはならず、ある数に近づいていき、その数は円周率πの2乗を6で割った数になることを突き止めた。（数式2）

この問題を解く過程でオイラーはさらなる発見をした。それは、次の式だ。

左辺は自然数の2乗の逆数を足し合わせたもの。右辺に出てくる2、3、5、……は素数だ。数式2と数式3をつなげてみると、なんと円周率πと素数がつながっていたことがわかったのだ。

数学は、記号を使うことでより便利に書き表せる。規則的に並んでいる数をすべて足し合わせた総和を表す「Σ」（シグマ）や、かけあわせた積を表す「Π」（パイ）を使うと、上の式は、（数式4）と表せる。pは素数（prime　number＝最も重要な数）だ。

この項は書きかけです。
われわれの数学は４次元の世界は正確に言い表せるが、それ以上の次元では、５次元の数学、７次元の数学に計算しなおさなければ、正しい解は表せない。１０進法やインド数学でながめていては、その数列の意味は解き明かせない。

　ある日、プリンストン高等研究所で、数学者のモンゴメリーとダイソンが、３時のお茶の時間に出会った。

（絵は入っていません）

上の絵を見ていただきたい。この図には書き込まれいないが、リーマンはこの南北にある２つの領域にも、素数の真実を写す鏡をみつけていた。それがどんな関数を掛け合わせたものかはわからないがもうひとつの真実を見せる対称性を見つけていた。わたしはこの謎に食い込めるだろうか？　この南北の対称性について、記述した文献はいくら探してもない。考えられるのリーマンの黒い手帳だけである。それが見つからない以上、自分で解き明かすしかない。そして、不安を感じる。なぜなら、この入り口に立った人間もリーマン以外いないのではないだろうか？　

リーマン予想は数学上の大難問で、未だにこの仮説を証明・否定できた人はいない。もし解決できた場合、クレイ数学研究所から100万ドルの懸賞金がもらえる。

また、素数のゼータ関数の零点分布を現す数式は、原子核エネルギー間隔の数式と完全に一致していることもわかり、物理の分野にも深い関係がありそうだ。

「宇宙の形」を探求する旅をはじめて１０年以上経過したが、私は、ポアンカレ予想と同じくらい高いとされる別の山の頂き周辺をさまよっていた。

賢明なみなさんは、すでに気づいておられると思うが、わたしの体は現実にはバンコクとカトマンズの中間を移動している。しかし、あたまだけはこの問題で締め付けられている。はっきり言って遭難しそうだ。

　最後に捨て台詞を吐こうとしたとき、イギリスの数学者ゴッドフレイ・ハーディーが「素数に意味などない！」と言っているのを思い出しなんとか踏みとどまった。

ハーディーがかつてエウクレイデスの背理法の真髄について語っていた。その精神は、最初から勝負を捨ててかかるところにある。アラン・チューリングの証明戦術もそうだが、素数に意味がない場合、チューリングは一直線上からはずれたところに０点をもつ素数を発見するはずだった。しかし、実際は１０００個以上の素数をコンピュータにかけても、それ以上の大きな桁に駈けあがっても、線上からはずれた素数は見つからなかった。そして、なぜ、あの数式にπが出現したのかを考えた。

πは円周率で、円の外周や面積を求めるのに使われる魔法の符号である。そして、３次元に直すと、球の体積を示すことができる。これは素数と球（もしくは８つの素多様体）は何か関係があるのではないかと考えたのだ。素数もやはり、ある種の空間と対応しているのだろうか？

πが出現する数式はもっと複雑なトーラス（ひとつ穴のドーナツ）もそうだ。この図形を描く仮定で、円から離れた一点を中心に旋回させるとトーラスができあがる。

それに、超弦理論の素粒子の単位を「振動する輪ゴムのような弦」という形でもあらわせるのだ。

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素数は数ではなく、閉殻構造をもった別の記号ではないかというのが、わたしの仮説だ。しかし、学生のひとはこれを鵜呑みにしなでほしい。素数に順番などはなく、2，３，５，７，１１，１３，１７は並びではない、a,z,d,f,g,k,gなど名称がつくべき符号で、それは、ある工夫（マイナス１）をすれば、閉殻構造をもった小さな素数に砕けてしまう、という特長をもっているのだ。

そして、そのきっかけはスピンである。素粒子のスピン、惑星衝突の限界線で起こる潮汐力、つまり、重いウランなどの粒子のエネルギーのとびとびの間隔が、素数の臨界線にぴったり合ったのを思いだしてほしい。

そして、気づいたのは、素粒子のスピン、惑星の自転、銀河の渦、銀河が宇宙の中心にあるブラックホールを中心に旋回する様を。結局、素数は距離の３乗に反比例する潮汐力と深い関りをもっていることに思いあったのだ。

これは南部陽一郎が説明した「対象性の破れ」ではないだろうか？（巻末参照）

ここから、さらに航海を進めたい。ここに登場するひとたちがこの問題でどのように考え、素数と向き合い、何を見たのかを知りたい。

すでに航海は、ミクロの世界へ素数の謎を捉えるため、進んでいます。そのれが第２幕「次元を旅した男」。理論物理学者はこの世界は１１次元で構成されていると定義している以上、数学の数が２次元の素数平面（２次元）にだけあるはずがないことに気付いたわたしは、理論物理学と数学の間隙に突っ込ん

でゆきます。