ポアンカレ予想の証明方法< br> ペレルマンが挑む第３幕

ポアンカレ予想を証明するまでには、ウイリアム・サーストンの幾何化予想、さらにリチャード・ハミルトンのリッチフローを理解しないと、進めません。
宇宙の形１、２幕を出版して、質問が集ったのは、この点でした。この宇宙の形は、一般のひとが数学や天体物理学などに興味を深めてもらうため、書いたもので、その先に進んでいるひとに、ここに証明の概要だけをまとめました。

サンクトぺテルブルグから３０キロ余り離れた友人の山小屋にひっそりと篭るペレルマンは、ここでも多くの時間を過ごし思索を進めていました。

まず、ハミルトンの証明方法。

１、リッチ・フロー（熱方程式のようなもの）を多様体にかけて、その経過をみる。いわば、わからない３次元の図形を空気で膨らませる。そして、どんな形に変化するかを見極める。これで、ねじれた図形、穴があいた図形、２つ穴、クラインのつぼもその正体がわかる。
※リッチ・フローとは、多様体を膨張させたり、収縮させたりして、多様体の形を見極めるための微分方程式。

２、多様体は負の曲率をもった図形なら、リッチフローをかけると、膨張し、その図形からでっぱりやへこみが消えるまで進めて行く。やがては単連結の輪をするりとぬけてしまい、ついには消えなくなる。
※単連結とは、ロープを地球に投げかけ、両方の端を左手でにぎり、右手で２本をひっぱって行く動作と同じ。

こうして、サーストンがみつけた、８つの形（サーストンの幾何化予想）のどの形になるかを探る手法。ハミルトンが考え出したこの方法は、どんなに曲がっていようが、ねじれていようがリッチフローを施し、その変化をみれば、８つのサーストンの基本モデルかその組み合わせになるという考え方だ。

正の曲率をもつ多様体とは球形がその代表。正、π（１８０度、水平）負かどうかによって図形を特定するもので、そっている場合は負の曲率をもつ。球は正の曲率、ひとつ穴ドーナツが曲率０、鞍が負の曲率。

ハミルトンは１９８２に「微分幾何学ジャーナル」に発表し、ポアンカレ予想、サーストンの幾何化予想の両方の証明に近づいたとして反響を呼んでいる。

これはトポロジーの問題を解決するために、別の数学分野（微分）の技術を使えば解決できる可能性を示したもので、この分野はペレリマンが得意とする分野だった。
ペレリマンはサンクトペテルブルグのステクロフ研究所で、まさにこの分野の研究をしていたのだ。(続く）

そして、重要なのは負の曲率をもった図形の場合は、膨張する。ハッブル宇宙望遠鏡で観測し、さらにｗｍａｐで調べた結果報告のなかに、宇宙の端では光速の４倍ものスピードで宇宙が膨張しているという、驚くべき記述があった。このようなエネルギーは世界中どこを探しても発見されていない。それを斥力と称している物理学者もいるが、わたしは、宇宙空間がとりうる「双曲空間による膨張」だと主張した。

この先に展開する「双曲空間のなかに住む人」を読んでもらえれば、わかってもらえると思う。

　この項は、宇宙の形の第３幕のかきかけです。時間をみて進めています。

天才数学者ペレリマンが挑む　宇宙の形第２幕: 次元を超えて格闘する数学者たちの生き様を追って